Soit $$F_N(x)=\sum^N_{n=0}\frac1{(nx+1)^2}\quad\text{ pour }\quad x\in\;]0,\infty[,N\geqslant0$$

1. Montrer que la suite de fonctions \((F_N)_N\) converge simplement sur \(]0,+\infty[\). On notera $$F(x)=\sum^\infty_{n=0}\frac1{(nx+1)^2}=\lim_{N\to+\infty}F_n(x)$$
2. Montrer que l'on a pas de convergence uniforme sur \(]0,+\infty[\)
3. Montrer que \(\forall a\gt 0\), on a convergence uniforme sur \([a,\infty[\)

Convergence simple : on vérifie que la série est convergente
Soit \(x\gt 0\) fixé
\(f_n(x)=\frac1{(nx+1)^2}\geqslant0\) et $$f_n(x)\underset{+\infty}\sim\frac1{(nx)^2}=\underbrace{\frac1{x^2}}_{cste}\times\underbrace{\frac1{n^2}}_{\text{t.g. Riemann CV}}$$
\(F_N(x)\) converge donc simplement

CVU \(\to\) trouver \(N,M,\varepsilon\) qui ne respectent pas le critère de Cauchy
\((F_N)_N\) converge uniformément d'après le critère de Cauchy si et seulement si : $$\forall\varepsilon\gt 0,\exists N_\varepsilon,\forall N,M\geqslant N_\varepsilon,\qquad\sup_x\lvert F_N(x)-F_M(x)\rvert\lt \varepsilon$$
\((F_N)_N\) ne satisfait pas le critère de Cauchy uniforme si : $$\exists\varepsilon\gt 0,\forall N_0,\exists N,M\geqslant N_0,\qquad\sup_x\lvert F_N(x)-F_M(x)\rvert\geqslant\varepsilon$$
Pour \(\varepsilon=1\), \(\forall N\in{\Bbb N}\) et \(M=N=1\), on a : $$\sup_{x\gt 0}\lvert F_M(x)-F_N(x)\rvert=1\geqslant\varepsilon=1$$ donc il n'y a pas de convergence uniforme

Convergence uniforme \(\to\) majorer par une série convergente

Soit \(a\gt 0\) fixé
Pour \(x\in[a,+\infty[\), \(0\leqslant f_n(x)\leqslant f_n(a)=\frac1{(na+1)^2}\)
$$\begin{align}\forall N,M,\sup_{x\in[a,\infty[}\lvert F_N(x)-F_M(x)\rvert&=\sup_{x\in[a,\infty[}\sum^N_{n=M+1}f_n(x)\\ &\leqslant\sup_{x\in[a,\infty[}\sum^N_{n=M+1}\frac1{(na+1)^2}\end{align}$$
La série \(\sum^\infty_{n=0}\frac1{(na+1)^2}\) est convergente, donc on a Cauchy
Donc la série de fonctions converge uniformément sur \([a,+\infty[\)

1. On fixe \(x\gt 0\). Observer que l'on a un encadrement $$\int^{n+1}_n\frac x{1+t^2x^2}\,dt\leqslant\frac x{1+n^2x^2}\leqslant\int^n_{n-1}\frac x{1+t^2x^2}\,dt$$ pour tout \(n\geqslant1\)
2. Obtenir à partir du résultat précédent un encadrement par des intégrales du reste de la série de fonctions $$R_N(x)=\sum^{+\infty}_{n=N+1}\frac x{1+n^2x^2}$$ puis exprimer la valeur de ces intégrales
3. Montrer en utilisant cet encadrement que \(\sup_{x\in]0,+\infty[}\lvert R_N(x)\rvert\) ne tend pas vers zéro quand \(N\to+\infty\) et conclure que la convergence de la série de fonctions \(S(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}\frac x{1+n^2x^2}\) n'est pas uniforme sur \(]0,+\infty[\)
4. Montrer cependant que l'on a \(\sup_{x\in[a,+\infty[}\lvert R_N(x)\rvert\leqslant\frac\pi2-\arctan(Na)\) et retrouver que la convergence de \(S(x)\) est uniforme sur \([a,+\infty[\) pour tout \(a\gt 0\)

1° : étudier les variations de la fonction \(t\mapsto f(t,x)\)
Soit \(x\gt 0\) fixé
On étudie la monotonie de \(t\mapsto f(t,x)=\frac x{1+t^2x^2}\)
$$\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)=\frac{-2tx^3}{(1+t^2x^2)^2}\lt 0$$ pour \(x\) fixé, la fonction \(t\mapsto f(t,x)\) est donc décroissante

2° : majoration et minoration du reste via relation de Chasles
\(\forall x\gt 0\) fixé, on a : $$\begin{align}&f(n+1,t)\leqslant f(t,x)\leqslant f(n,t)\\ \implies& f(n+1,x)\leqslant\int^{n+1}_nf(t,x)\,dt\leqslant f(n,x)\cdot1\end{align}$$ et avec \(n\) remplacé par \(n-1\) : $$f(n,x)\leqslant\int^n_{n-1}f(t,x)\,dx$$
2: $$\begin{align} R_N(x)&=\sum^{+\infty}_{n=N+1}\frac x{1+n^2x^2}\\ &\leqslant\int^{+\infty}_N\frac x{1+(tx)^2}\,dx\\ &=\lim_{R\to+\infty}\arctan(Rx)-\arctan(Nx)\\ &=\frac\pi2-\arctan(Nx)\end{align}$$ de même, \(R_N(x)\geqslant\frac\pi2-\arctan((N+1)x)\)

3° : le \(\sup\) n'est pas nul \(\to\) pas de convergence uniforme
D'après l'inéquation précédente, \(\frac\pi2\) est le plus petit des majorants de \(R_N(x)\)
Donc $$\lim_{N\to+\infty}\sup_{x\in]0,+\infty[}\lvert R_N(x)\rvert=\frac\pi2\ne0$$ donc il n'y a pas de convergence uniforme sur \(]0,+\infty[\)

$$\sup_{x\geqslant a}R_N(x)\leqslant\frac\pi2-\arctan(Na)\underset{N\to+\infty}\longrightarrow0$$ il y a donc la convergence uniforme pour \(\lvert x\rvert\geqslant a\)

(Intégrale - Intégration (Relation de Chasles))

On étudie la série de fonctions $$S(x)=\sum^{+\infty}_{n=1}\sin^\alpha(x)\cos^n(x)$$ sur le domaine \([0,\pi/2]\), pour un paramètre \(\alpha\gt 0\)
Prouver la convergence et exprimer la somme de cette série en fonction des fonctions usuelles pour \(x\in[0,\pi/2]\)

Séparation de la constante
$$S(x)=\sin^\alpha(x)\sum^{+\infty}_{n=1}\cos^n(x)\quad\text{ pour }\quad x\ne0$$
Pour \(x=0\), \(S(0)=0\)

Formule des séries géométriques

$$=\sin^\alpha(x)\frac{\cos x}{1-\cos x}$$

(Série géométrique)

On étudie la série de fonctions $$S(x)=\sum^{+\infty}_{n=1}\sin^\alpha(x)\cos^n(x)$$ sur le domaine \([0,\pi/2]\), pour un paramètre \(\alpha\gt 0\)
Cette série est convergente est peut être écrite sous la forme $$S(x)=\frac{\sin^\alpha(x)\cos(x)}{1-\cos x}$$
Prouver que pour \(\alpha\leqslant2\), la fonction \(S(x)\) n'est pas continue en \(0\), et par suite, la série ne peut converger uniformément sur \([0,\pi/2]\) dans ce cas

Continuité via les DL
$$\begin{align}\lim_{x\to0^+}S(x)&=\lim_{x\to0^+}\frac{x^\alpha \cos x}{x^2/2}\\ &=\begin{cases}\infty&&\text{si}\quad \alpha\lt 2\\ 2&&\text{si}\quad \alpha=2\\ 0&&\text{sinon.}&\end{cases}\end{align}$$

Justifier qu'il n'y a pas de convergence uniforme via la continuité

La série ne converge pas uniformément sur \([0,\pi/2]\) car les fonctions \(f_n(x)=\sin^\alpha(x)\cos^n(x)\) sont continues, mais la série \(S\) ne l'est pas

(Cosinus (Développement limité en 0), Sinus (Développement limité en 0), Convergence uniforme (Continuité de la limite uniforme))

On étudie la série de fonctions $$S(x)=\sum^{+\infty}_{n=1}\sin^\alpha(x)\cos^n(x)$$ sur le domaine \([0,\pi/2]\), pour un paramètre \(\alpha\gt 0\)
Cette série est convergente est peut être écrite sous la forme $$S(x)=\frac{\sin^\alpha(x)\cos(x)}{1-\cos x}$$
De plus, \(S\) ne converge pas uniformément sur \([0,\pi/2]\) pour \(\alpha\leqslant2\)
Prouver que la série \(S(x)\) converge normalement sur \(]0,\pi/2[\) lorsque \(\alpha\gt 2\)

Existence du maximum
Pour \(x\in\,]0,\pi/2[\), on a : $$\begin{align}&f^\prime_n(x)=0\\ \iff&\alpha\sin^{\alpha-1}(x)\cos^{n+1}(x)=n\cos^{n-1}(x)\sin^{\alpha+1}(x)=0\\ \iff&\sin^{\alpha-1}(x)\cos^{n-1}(x)\left(\alpha\cos^2(x)-n\sin^2(x)\right)=0\\ \iff&\alpha\cos^2(x)-n\sin^2(x)=0\\ \iff&\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=\frac\alpha n\\ \iff& x=\arctan\left(\sqrt{\frac\alpha n}\right)\end{align}$$

Expression du maximum
$$\begin{align} f_n\left(\arctan\left(\sqrt{\frac\alpha n}\right)\right)&=\sin^\alpha\left(\arctan\left(\sqrt{\frac\alpha n}\right)\right)\cos^n\left(\arctan\left(\sqrt{\frac\alpha n}\right)\right)\\ &=\left(\sin^2\arctan\left(\sqrt{\frac\alpha n}\right)\right)^{\alpha/2}\left(\cos^2\arctan\left(\sqrt{\frac\alpha n}\right)\right)^{n/2}\\ &=\left(\frac{\alpha/n}{1+\alpha/n}\right)^{\alpha/2}\left(\frac1{1+\alpha/n}\right)^{n/2}\end{align}$$

Convergence de la série des \(\sup\) via majoration

$$\begin{align}\left(\frac{\alpha/n}{1+\alpha/n}\right)^{\alpha/2}\left(\frac1{1+\alpha/n}\right)^{n/2}&\leqslant\left(\frac\alpha n\right)^{\alpha/2}\cdot1\end{align}$$ cette série converge car \(\alpha\gt 2\implies\alpha/2\gt 1\)
La série \(S\) converge donc normalement sur \(]0,\pi/2[\)